五心間の距離など

 五心間の距離等(3辺の長さをつかった内積計算の応用)

三角形の三辺の長さをつかった内積が有力なときがあります。

ここでは、幾何学的手法ではなく内積をつかって、垂心と外心の距離など、五心間の距離や様々な性質を求める方法を紹介します。

[内積の公式]　

任意の点Pに対して、PA↑=x↑、PB↑=y↑、PC↑=z↑、|x↑|=x、|y↑|=y、|z↑|=z、とします。今、PD↑=x↑+y↑+z↑となる点Dを考えます。

△ABP、△BCP、△CAPで、内積公式より、それぞれ、

(x↑・y↑)=(x²+y²-c²)/2

(y↑・z↑)=(y²+z²-a²)/2

(z↑・x↑)=(x²+z²-b²)/2より、

|PD|²=(x↑+y↑+z↑・x↑+y↑+z↑)

=(x↑・x↑)+(y↑・y↑)+(z↑・z↑)+2(x↑・y↑)+2(y↑・z↑)+2(x↑・z↑)

=3(x²+y²+z²)-(a²+b²+c²)

|PD|²≧0より、

任意のPについて、x²+y²+z²≧(a²+b²+c²)/3

[定理1] 任意のPについて、頂点までの距離の二乗の和は、

         x²+y²+z²≧(a²+b²+c²)/3

特にPが外心のとき、外接円の半径をRとすると、x²=y²=z²=R²より、9R²≧(a²+b²+c²) 

[定理2]  外接円の半径をRとすると、

          9R²≧(a²+b²+c²)

 Pが重心のとき、重心Gの位置ベクトルは、(x↑+y↑+z↑)/3なので、|PD|=0より、

[定理3]  Pが重心のとき、頂点までの距離の二乗の和は最小で、

　　　　x²+y²+z²=(a²+b²+c²)/3

次に、点Pを起点に考えると、PD↑=x↑+y↑+z↑、PG↑=(x↑+y↑+z↑)/3より、

PD↑=3PG↑

点Dは、点Pから重心Gを通る直線上で、重心までの距離の3倍である。

したがって、点Pから重心Gまでの距離は、

|PG|²=((x↑+y↑+z↑)/3・(x↑+y↑+z↑)/3)={3(x²+y²+z²)-(a²+b²+c²)}/9

=(x²+y²+z²)/3-(a²+b²+c²)/9

[定理4]    任意の点Pと重心Gまでの距離の二乗は、(x,y,zは点Pと各頂点までの距離)

         |PG|²=(x²+y²+z²)/3-(a²+b²+c²)/9

これより、次のことが導かれる。

点Pが外心Oのとき、x²=y²=z²=R²だから、

|OG|²=R²-(a²+b²+c²)

[定理5]外心Oと重心Gの距離の二乗は、

|OG|²=R²-(a²+b²+c²)/9

[定理6]

x²+y²+z²が一定の点の集合は、重心Gを中心とした円である。

点Pが頂点Aのとき、x=0、y=c、z=bより、x²+y²+z²=b²+c²だから、定理4より、

[定理7]  頂点Aと重心Gまでの距離の二乗は、(頂点B、Cも同様)

         |AG|²=(2b²+2c²-a²)/9

[定理8]  △ABCの内部(または境界)にある点で、x²+y²+z²が最大である点は、長さが最小である辺に対する頂点に            あるときで、最大値は、(aが最小辺とすると)

         b²+c²

Pが外心Oのとき、

よく知られた定理に、垂心Hは、OH↑=x↑+y↑+z↑であるから、外接円の半径をRとすると、

x²=y²=z²=R²より、

|OH|²=3(R²+R²+R²)-(a²+b²+c²)=9R²-(a²+b²+c²)

[定理9]  垂心Hと外心Oの距離の二乗は、

         |OH|²=9R²-(a²+b²+c²)

必要であれば、公式、R²=a²b²c²/(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)をつかえば、3辺a、b、cであらわすことができる。

(以下同じ)

垂心Hと重心Gの距離は、HG=2OH/3より、

[定理10] 垂心Hと重心の距離の二乗は、

　　　|HG|²=4R²-4(a²+b²+c²)/9

逆に、定理4より、|HG|²=(x²+y²+z²)/3-(a²+b²+c²)/9より、

4R²-4(a²+b²+c²)/9=(x²+y²+z²)/3-(a²+b²+c²)/9から、

[定理11] 点Pが垂心のとき、

　　　　x²+y²+z²=12R²-(a²+b²+c²)

点Pが外心Oのとき、内心の位置ベクトルは、(ax↑+by↑+cz↑)/(a+b+c)だから、

(OI↑・OI↑)を計算すると、

[定理12] 外心Oと内心Iの距離の二乗は、

　　　　|OI|²=R²-abc/(a+b+c)

傍心との距離の場合は、∠Aに対する傍心は、aを-aに、∠Bに対する傍心は、bを-bに∠Cに対する傍心は、cを-cにすればよい。

[定理13] 外心Oと∠Aの傍心I’の距離の二乗は、(∠B、∠Cの傍心も同様)

　　　　|OI’|²=R²+abc/(-a+b+c)

その他参考までに。

[定理14]  垂心Hと内心Iの距離の二乗は、

　　　　|HI|²=4R²-(a³+b³+c³+abc)/(a+b+c)

フェルマー点Pは、∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、

余弦定理より、

2(x²+y²+z²)+xy+yz+zx=a²+b²+c²

展開公式、

(x+y+z)²=x²+y²+c²+2(xy+yz+zx)より、

[定理15] フェルマー点と各頂点の距離の和の二乗は、

(x+y+z)²=(a²+b²+c²)/2+√3abc/2R

[定理16]  フェルマー点Fと重心Gの距離の二乗は、

　　　　|FG|²=(a²+b²+c²)/18-abc/(6√3R)