三角形の緒定理
（7）数学問題集
ここでは、使う定理はそう難しくはないけれど、なかなか、解法に気がつかないような問題を集めています。是非チャレンジしてみてください。
[問題１]
△ABCの内心をIとする。
（中学の範囲で解ける問題です。)
[問題２]
図のような三角ABCでABの中点をMとする。
AB=4のときBCの長さを求めよ。
[問題３]
△CDEの外側に2つの正方形ABCD、DEFGを作る。辺CEの中点をX、直線XDと直線AGの交点をYとすると、XY⊥AG、であることを証明しなさい。
（中学の範囲で解ける問題です。）
[問題4] [創作問題1]
線分ABを弦とする円Oの内部に点Cがある。(AB=c、BC=a、CA=b)
直線AC、BCと円Oの交点をP、Q、点A、Bを通る円Oの接線の交点をDとする。
このとき、点Dから直線AQ、BPまでの距離の比を、a、b、cを使って表してください。
（中学の範囲で解ける問題です。
[問題5]［創作問題2］
円Oの直径でない弦ABと、その円外の点Pがある。
直線PA、PBと円Oの交点をそれぞれ、Q、Rとする。
ただし、PQA、PRBはこの順に並んでいるとする。
直線QBとRAの交点をSとするとき、直線PSは、点Pによらず
定点を通ることを証明してください。
（中学校程度の知識でも解けますが、かなり難しいかと）
[問題6]［創作問題3］
図のように円O'と円Oの共通弦をABとし、円O'上の点Cから、
直線CBと円Oの交点をD、線分ACと円Oの交点をE、
線分ABと線分EDの交点をF、直線CFと円O'の交点をGとする。
（すべての点は、図のような順にならんでいるとする。）
このとき、OG⊥GC、証明をしなさい。
（中学校程度の知識でも解けますが、かなり難しいかと）
[問題7] [創作問題4]
円Xは、四角形PQRSに内接している。四角形PQRSの辺を延長した直線のうち3本と接するような円A、B、C、Dを図のようにとる。円A、B、C、Dの半径は、それぞれ、a、b、c、dである。
[問題8] [創作問題5]
図のように、△ABCと内部の点Pがある。直線AP、BP、CPと対辺の交点をそれぞれ、D、E、Fとする。
∠DEF=90°のとき、∠BED=∠CEDを証明しなさい。
（初等幾何で証明してください。高校の問題です。かなり難しいかも）
[問題9] [創作問題6]
図のように、∠Cが鈍角の△ABCの内部に点Pがある。直線BP、CPと対辺の交点をそれぞれ、E、F、
APとEFの交点をGとする。
∠BCG=90°のとき、∠ECG=∠FCGを証明しなさい。
（初等幾何で証明してください。高校の問題です。かなり難しいかも）
