(7)数学問題集解答
(6)の数学問題集の解答例です。
[問題1]の解答
Iから、AB、ACへの垂線を、それぞれF、Gとする。
△IAF∽△DIF∽△EIGより、
∠IAF=∠DIF=∠EIG…(1)
また、AI、BI、CIは角の二等分線より、
∠IAF+∠IBF+∠ICE=90°…(2)
△DBIと△EICにおいて、
∠FIB+∠IBF=90°より、∠FIB=90°-∠IBF
よって、
∠DIB=∠FIB-∠DIF=90°-∠IBF-∠DIF
(1)(2)より、
∠DIB=∠ECI
同様にして、
∠EIC=∠DBI
2組の角がそれぞれ等しいので、
△DBI∽△EIC
DB:EI=DI:EC
8:EI=DI:1
EI=DIより、
DI²=8、DI=2√2
したがって、
DE=4√2
[問題2]の解答
∠CAM=∠DCMから
∠ACD=∠ACM+∠DCM=∠ACM+∠CAM
三角形の外角より、
∠BMC=∠ACM+∠CAM
よって、
∠ACD=∠BMC…(1)
また、
AM:CM=AC:CD
AM=BMより、
BM:CM=AC:CDから
AC:BM=CD:MC…(2)
(1)(2)より、
△ACD∽△BMC
AC:AD=BM:BCから
2:3=2:BC
よって、
BC=3
[問題3]の解答
GDの延長上にPD=GDとなる点Pをとる。
∠ADY+∠ADC+∠CDX=180°
∠ADC=90°より、
∠ADY+∠CDX=90°…(1)
△DAPと△DCEにおいて、
DP=DE、DA=DC
∠ADP=∠ADC-∠PDC=90°-∠PDC
∠CDE=∠PDE-∠PDC=90°-∠PDC、より、
∠ADP=∠CDE
よって、
△DAP≡△DCE
APの中点Mをとると、対応する角は等しいので、
∠ADM=∠CDX…(2)
(1)(2)より、
∠YDM=∠ADY+∠ADM=90°…(3)
△APGで、PM=MA、PD=DGより中点連結定理より、
MD//AG、
(3)より、
∠XYA=90°
[問題4]の解答
CからABに垂線CGをひく。
△CAGと△DBFにおいて、
∠CGA=∠DFB=∠R
DBは接線だから、接弦定理と対頂角より、
∠CAG=∠DBF、よって、
△CAG∽△DBF
CA:DB=CG:DF…(1)
同様にして、△CBG∽△DAE
CB:DA=CG:DE…(2)
DB=DAで(1)(2)より
DE:DF=CB:CA=b:a
[問題5]の解答
直線PSの延長上をT、△PARの外接円と直線PSの交点をUとする。
この円の円周角より、∠PAR=∠SUR
円Oの円周角より、∠PAR=∠SBR
よって、∠SUR=∠SBRから、四角形RSUBは、円に内接する。
内接四角形の外角より、∠SRB=∠TUB=∠AOB/2(円周角と中心角)
また、∠PRA=∠PUAの補角より、∠SRB=∠TUA=∠AOB/2
∠TUB=∠TUA=∠AOB/2
よって、∠TUB=∠TUA
したがって、∠AOB=∠AUBから、点Uは、△AOBの外接円の周上にある。
しかも、∠TUB=∠TUAから、直線UTは、この外接円の弧AB(点Oの反対側)の中点を通る。
すなわち、直線PSは、△AOBの外接円と線分ABの垂直二等分線の交点(点A、点Bの円Oにおける接線の交点)をとおる。
※OU⊥PUがわかります。
[問題6]の解答
(1)
∠ABC=∠AGC(円O'の円周角)∠ABD=∠AEF(円Oの円周角)
∠ABC+∠ABD=180°より、∠AGC+∠AEF=180°四角形AEFGは円に内接する。
よって、∠EAF=∠EGF
また、∠EAF=∠CGB(円O’の円周角)より、∠EGB=2∠EAB
∠EOB=2∠EAB(円周角と中心角)
よって、∠EGB=∠EOB
したがって、四角形EBOGは円に内接する。
(2)
(1)より、四角形EBOGの外接円と、直線GCの交点をMとすると、
∠EGM=∠BGM
点Mは弧EMBの中点。また、OE=OB(半径)より、点Oは弧EGOBの中点。
よって、弧OBMは半円より、∠OGM=90°
※この図のなかの4点をとおる円は、円O、O’以外に5つあるとはおどろきです。
[問題7]の解答
円A、円Xと線分SRの接点をF、H、円B、円Xと線分PSの交点をE、Lとする。
内接円と傍接円の性質より、RF=HS=SL=EP…(1)
円C、円Xと線分PQの接点をG、N、円D、円Xと線分QRの交点をK、Mとすると
GP=QN=QM=RK…(2)
△BEP∽△CGPより、BE:CG=EP:GP=b:c
△AFR∽△DKRよりAF:DK=RF:RK=a:d
よって、(1)(2)よりb:c=a:d
ac=bd