(3)三角形に内接する正三角形の定理


[定理3−1] 頂角が120°の三角形の場合

△ABCで、∠A=120°、、点D、E、Fはそれぞれ、BC、CA、AB上にあるとする。

(1)
△DEFが正三角形のとき、頂点Dは∠Aの二等分線とBCの交点である。

(2)
点Dが∠Aの二等分線とBCの交点であるとき、∠EDF=60°になる点E、Fをとれば△DEFは
正三角形である。

[証明]

(1)

△DEFが正三角形とすると、∠EAF=120°、∠EDF=60°なので、

四角形AFDEは円に内接する。

∠FAD=∠FED=60°、∠EAD=∠EFD=60°

よって、

∠FAD=∠EAD

したがって、直線ADは∠Aの二等分線である。

(2)

逆に、直線ADが∠Aの二等分線で、∠EDF=60°のとき、∠EAF=120°なので、

四角形AFDEは円に内接する。

∠EAD=∠EAF=∠EDF=60°より、DE=DF=EF

よって、△EDFは正三角形である。



∠Aの二等分線とBCの交点以外の点を通る内接正三角形は存在しないことになります。

等力点が、Dであり、正三角形の頂点の位置にあることに注目です。


[定理3−2] 三つの外接円

図のように、△ABCに正三角形LMNが内接している。
△ANM、△BLN、△CMLの外接円の中心をそれぞれ、P、Q、Rとする。

(1) △PQR∽△ABC

(2) △PQRが最も小さくなるとき、△PQRと△ABCの相似比は:1:2である。

[証明]
(1)
3つの円の交点をJとする。※(1)ページの[定理1]
△ABCと△PQRにおいて、
2円の中心を結ぶ直線PQは、共通弦NJを垂直に二等分するので、
∠QPJ=∠QPN=∠NAJ
同様に、
∠RPJ=∠RAJ
よって、
∠QPR=∠QPJ+∠RPJ=∠NAJ+∠RAJ=∠A
同様にして
∠RQP=∠B
よって、
△ABC∽△PQR

(2)
(1)より、△PQRが動くとともに、△PQJも頂点Jを定点として、相似な形状をたもち
ながら動く。
線分PQの長さのかわりに線分PJを考える。
AP=PJで、線分AJは定線分なので、線分PJの最小は、3点A、P、Jが一直線のとき。
(このとき、JN⊥AB、JL⊥BC、JM⊥AC)
このとき、△PQRと△ABCは相似の位置にあり、相似の中心はJ、
相似比は、PJ:AJ=1:2
したがって、
△PQRと△ABCの相似比は、1:2


[定理3−3] 逆

鋭角三角形ABCの内部に点Pがある。

点Pから辺BC、CA、ABへの垂線の足をそれぞれ、D、E、Fとする。
∠BPC=α、∠CPA=β、∠APB=γとするとき、PD:PE:PF=sinα:sinβ:sinγ
となった。
(BC=a、CA=b、AB=c)

(1)
AP:BP:CP=(1/a):(1/b):(1/c)

(2)
△DEFは正三角形である。

(3)
α=∠A+60°、β=∠B+60°、γ=∠C+60°である。

[証明]

(1)

PD=ksinα、PE=ksinβ、PF=ksinγとする。

△PBC=1/2・PB・PCsinα=1/2・BC・PD=1/2・a・ksinα

よって、

PB・PC=ka

同様に、

PC・PA=kb、PA・PB=kc

したがって、

(PA・PB・PC)/(PB・PC):(PA・PB・PC)/(PC・PA):(PA・PB・PC)/(PA・PB)

=PA:PB:PC

=(1/a):(1/b):(1/c)

(2)

四角形AFPEは円に内接する四角形で、PAは直径なので、

正弦定理より、

EF=PAsinA

同様に、

FD=PBsinB、DE=PCsinC

(1)より、

EF:FD:DE=(1/a・sinA):(1/b・sinB):(1/c・sinC)=1:1:1

よって、

△DEFは正三角形である。

(3)

円周角の定理より、

∠PBF=∠PDF、∠PCE=∠PDE

∠PDF+∠PDE=60°

よって、

α=∠BPC=∠A+∠PBF+∠PCE=∠A+PDF+∠PDE=∠A+60°

同様にして、

β=∠B+60°、γ=∠C+60°


[定理3−4] 三頂点から最小正三角形への垂線

鋭角三角形ABCに正三角形DEFが図のように内接している。△DEFは△ABCに内接する最小の正三角形である。

このとき、三頂点から向かい合う正三角形の一辺にひいた垂線は、一点で交わる。

[証明]

頂点A、B、Cから正三角形への垂線の足をそれぞれ、P、Q、Rとします。

△DEFは最小の正三角形だから、等力点をJとすると、

∠JFA=∠JEA=90°

四角形AFJEは円に内接するので、

∠AJE=∠AFE

∠APF=∠AEJ=90°より、∠FAP=∠JAE

APの延長上に点Gを∠ABG=∠B+60°になるようにとる。

このとき、∠AJC=∠ABG=∠B+60°より、

△AJC∽△ABG

AJ:JC=1/a:1/c=c:aだから、AB:BC=c:a

よって、点Gは、対辺BCを一辺とする正三角形の頂点である。

他の頂点も同様。

各頂点と対辺の正三角形の頂点を結ぶ直線は一点で交わる。(フェルマー点)

[定理3−5] 正三角形の一辺

図のように、△ABCに正三角形DEFが内接している。
各頂点から、向かいの正三角形の一辺におろした三本の垂線が、
一点Pで交わっている。

このとき、△ABCの面積をS、AP+BP+CP=L、として、
正三角形の一辺の長さは、ℓは、

ℓ=2S/Lである。

[証明]

AP⊥EFより、

四角形AFPE=(AP・EF)/2

同様に、四角形BDPF=(BP・DF)/2、四角形CEPD=(CP・ED)/2

よって、

△ABC=四角形AFPE+四角形BDPF+四角形CEPD

=(AP・EF)/2+(BP・DF)/2+(CP・ED)/2

=EF(AP+BP+CP)/2

=S

EFは正三角形の一辺   ℓ=2S/L

 

なお、このとき、容易にわかるように、点Pはフェルマー点である。

よく知られているように、フェルマー点は、三つの頂点からの距離の和が最小の点である。

この定理より、フェルマー点からの、三つの頂点までの距離の和から、この三角形の一辺の長さを

求めることができる。

 

フェルマー点から、三つの頂点までの距離の和 L

L=√{(a²+b²+c²)/2+2√3S}

 

よって、この正三角形の一辺の長さℓは、

ℓ=√2S/√{(a²+b²+c²)+4√3S} 

 

また、三角形に内接する最小の正三角形の一辺は、直接計算することもできる。

 

 

等力点をJ、最小の正三角形を、DEFとします。

JA=k/a、JB=k/b、JC=k/c とすると、

△JBCで、余弦定理より、

a²=(k/b)²+(k/c)²-2(k/b)(k/c)cos(A+60°)

k=abc/√{b²+c²-2bccos(A+60°)}

=√2abc/√(a²+b²+c²+4√3S)

 

△JBDで正弦定理より、BJは直径なので、

DE=BJ・sinB=k/2R (Rは外接円の半径)

=√2/√(a²+b²+c²+4√3S)・abc/2R

abc/4R=Sより、

=2√2S/√(a²+b²+c²+4√3S)

[定理3−6] 最小の正三角形の一辺

三角形に内接する最小の正三角形の一辺の長さℓは、

ℓ=2√2S/√(a²+b²+c²+4√3S)

 

三角形に内接する三角形のなかで、垂足三角形の周の長さが、最小であることが知られている。

また、その周の長さを、mとすると、

 

m=2S/R


[定理3−4]から、mR=ℓL

ℓ:R=m:L

また、最小の正三角形の周の長さは、3ℓなので、

m:3ℓ=L:3R

すなわち、次の定理が得られる。

 


[定理3−7] 正三角形の一辺と外接円の半径

(1)

最小の正三角形の一辺と外接円の半径の比は、内接する三角形の周の長さの最小値と内部の点から三頂点までの距離の和の最小値の比に等しい。

ℓ:R=m:L

(2)

内接する三角形の周の長さの最小値と最小の正三角形の周の長さの比は、内部の点から三頂点までの距離の和の最小値と外接円の半径の三倍に等しい。

m:3ℓ=L:3R

[予備定理3−7] 相似な三角形の頂点の軌跡
(1)一頂点が直線上を動くとき
頂点Aは定点で、△ABCが相似な状態をたもったまま、頂点Bが直線XY上を動くとき頂点Cの軌跡は、直線である。
 (2)一頂点が円周上を動くとき
頂点Aは定点で、△ABCが相似な状態をたもったまま、頂点Bが定円Oの周上を動くとき、
頂点Cの軌跡は、円周である。
 [証明]
(1)
頂点Aから直線XYに垂線ADをひき、ADを一辺として△ABCと相似な三角形ADE
をつくる。
AB:AD=AC:AD
AB:AC=AD:AE
∠BAC=∠DAEより、∠BAD=∠CAE
よって、
△ABD∽△ACE
よって、
∠AEC=∠ADB=90°
したがって、AEは定線分だから、
頂点Cは、AEに垂直な直線X'Y'上にある。
(2)
△ABCと相似な三角形AODをつくる。
前題と同様にして、
△ACD∽△ABO
よって、
DC:OB=AD:AO
OBは定円Oの半径で一定で、AD:AOも一定であるから
DCは一定である。
したがって、
 CはDを中心にして半径DCの円周上にある。
[定理3−9] 内接正三角形の重心の軌跡
△ABCに正三角形LMNが内接しながら移動する。
△ANM、△BLN、△CMLの外接円の中心をそれぞれ、P、Q、R、3円の交点をJとする。

(1)
△PQRの重心は、 点Jと△ABCの重心Gの垂直二等分線上を動く。


(2)
正三角形LMNの重心は、点Jと最小の正三角形の重心G'をむすぶ線分に垂直に移動する。

[証明]

(1)
△PQRの重心をHとする。
△PQRはJを定点として相似な形状をたもって移動する。
したがって、△PJHもJを定点として相似な形状をたもって移動する。
△LMNが最小の正三角形であるとき、(△DEFとする)
△PQRと△ABCは、点Jを相似の中心として相似の位置にあり、
相似比は、1:2である。
したがって、このとき、点PはAJの中点、点HはJGの中点である。
[予備定理3−7]より
△PJHの頂点PはAJの垂直二等分線上を動くので、頂点Hは、
JGの垂直二等分線上を動く。


(2)
△LMNの重心をH'とする。
△LMNはJを定点として相似な形状をたもって移動する。
したがって、△LJH'もJを定点として相似な形状をたもって移動する。
△LMNが最小の正三角形であるとき(△DEFとする。このとき重心G')、△LJH'の頂点LはJDに垂直に移動するのでH'もJG'に垂直に移動する。