（フェルマー点、ナポレオン点、垂心、重心の関連性）

[定理2-1][第一ナポレオン点]

△ABCの外側に正三角形ABD、BCE、CAFをかき、その重心を、それぞれ、P、Q、Rとし、PCとAB、QAとBC、RBとCAの交点を、それぞれ、L、M、Nとするとき、

PC、QA、RBは1点で交わる。

[証明]

△APCと△BPCの面積の比は、高さが共通なので、底辺の比にひとしい。
AL：LB=△APC：△BPC

=1/2・AP・ACsin∠PAC：1/2・BP・BC・sin∠PBC

AP=BPより、
=bsin(A+30°)：asin(B+30°)

同様にして、
BM：MC=csin(B+30°)：bsin(C+30°)
CN：NA=asin(C+30°)：csin(A+30°)

よって、
AL/LB・BM/MC・CN/NA=bsin(A+30°)/asin(B+30°)
・csin(B+30°)/bsin(C+30°)・asin(C+30°)/csin(A+30°)
=1
チェバの定理の逆より、PC、BR、QAは1点で交わる。

※補足

正三角形を△ABCの内側にかくとき、同様にPC、BR、QAは1点で交わる。（第二ナポレオン点）

[定理２−２]キーペルト点

△ABCの外側に各辺を底辺とし、定角θの二等辺三角形△APB、△BQC、

△CRAをかくとき、PC、BR、QAは一点で交わる。

[定理２−３]フェルマー点、ナポレオン点、垂心、重心の関連性

第一第二ナポレオン点、第一第二フェルマー点、重心、垂心、頂点A、B、Cはひとつの曲線上にある。

キーペルト点Kの三線座標を求めてみる。

 辺ABとPC、BCとQA、CAとRBの交点をそれぞれ、L、M、Nとします。

BM：CM=△ABD：△ADC=csin(B+θ)：bsin(C+θ)

AL：BL=△APC：△BPC=bsin(A+θ)：asin(B+θ)

△ABMと直線NPCでメネラウスの定理より

AL/LB・BC/CM・MK/KA=1から、

bsin(A+θ)/asin(B+θ)・{csin(B+θ)+bsin(C+θ)}/bsin(C+θ)・MK/KA=1

MK/KA=absin(B+θ)sin(C+θ)/bsin(A+θ){csin(B+θ)+bsin(C+θ)}

AM：MK

=asin(B+θ)sin(C+θ)+bsin(C+θ)sin(A+θ)+csin(A+θ)sin(B+θ)

：asin(B+θ)sin(C+θ)

Aから辺BCへの垂線の長さは、S/a

Kから辺BCへの垂線の長さは、

asin(B+θ)sin(C+θ)/{asin(B+θ)sin(C+θ)+bsin(C+θ)sin(A+θ)+csin(A+θ)sin(B+θ)}・S/a

よって、キーペルト点Kの三線座標は、

（sin(B+θ)sin(C+θ)、sin(C+θ)sin(A+θ)、sin(A+θ)sin(B+θ)）

=（1/sin(A+θ)、1/sin(B+θ)、1/sin(C+θ)

[定理２−４]　キーペルト点の三線座標

キーペルト点の三線座標は、

（1/sin(A+θ)、1/sin(B+θ)、1/sin(C+θ)）

特に、

θ=60°のとき、第一フェルマー点

θ=-60°のとき、第二フェルマー点

θ=30°のとき、第一ナポレオン点

θ=-30°のとき、第二ナポレオン点

θ=90°のとき、垂心

θ=0°のとき、重心

なので、次の定理がえられる。

[定理２−５]　各点の三線座標

第一フェルマー点の座標、

（1/sin(A+60°）、1/sin(B+60°)、1/sin(C+60°)）

第二フェルマー点の座標、

（1/sin(A-60°）、1/sin(B-60°)、1/sin(C-60°)）

第一ナポレオン点の座標、

（1/sin(A+30°）、1/sin(B+30°)、1/sin(C+30°)）

第二ナポレオン点の座標、

（1/sin(A-30°）、1/sin(B-30°)、1/sin(C-30°)）

垂心の座標、

（1/cosA、1/cosB、1/cosC）

重心の座標、

（1/sinA、1/sinB、1/sinC）

また、

x=1/sin(A+θ)、y=1/sin(B+θ)、z=1/sin(C+θ)

から、θを消去すると、

sin(B-A)・xy+sin(C-B)・yz+sin(A-C)・zx=0

または、ab(a²-b²)xy+bc(b²-c²yz+ca(c²-a²)zx=0

[定理２−６]　キーペルト双曲線の方程式

キーペルト双曲線の方程式は、

sin(B-A)・xy+sin(C-B)・yz+sin(A-C)・zx=0

または、ab(a²-b²)xy+bc(b²-c²yz+ca(c²-a²)zx=0

（１）ページの定理７から定理９と比べてみると、

 等力点の座標が、（sin(A+60°、sin(B+60°、sin(C+60°)）に対して、

フェルマー点が、（1/sin(A+60°)、1/sin(B+60°)、1/sin(C+60°)）だから、

逆数になっているので、それぞれ、共役な点であることがわかる。

[定理２−７] 　共役な点

第一等力点と第一フェルマー点、第二等力点と第二フェルマー点、

外心と垂心、擬似重心と重心はそれぞれ共役な点である。

[定理２−８]　直線と、双曲線の共役

（１）ページの[定理９]の直線とキーペルト双曲線はともに共役である。